Примеры задач оптимизации, связанных с фундаментальными понятиями теории связи

Приводимые ниже две задачи оптимизации типичны; такого вида проблемы часто возникают при разработке новых систем и устройств связи.

Первая из них связана с вопросом о наиболее эффективном использовании заданного частотного диапазона при наличии шума с неравномерным спектром; вторая -с выбором формы импульсного сигнала, обладающего минимально возможной полосой частот и потому наиболее адекватного работе по полосно-ограниченному каналу связи. Обе эти задачи имеют самостоятельный интерес; вместе с тем они могут рассматриваться как достаточно простые упражнения по практическому применению вариационного исчисления.

Экстремальная задача, связанная с пропускной способностью канала связи [24] Максимальное количество информации, которое может быть передано за единицу времени по каналу связи с полосой частот f 1 f f 2 при сколь угодно малой вероятности ошибки, определяется (согласно К. Шеннону) формулой (3.17) где s ( f ) и n ( f ) — функции спектральной плотности мощности полезного сигнала и шума соответственно [24, 25]. Если спектральные плотности мощности сигнала и шума являются частотно-независимыми в полосе [ f 1, f 2), то получа ется еще более известное выражение где полная мощность сигнала; (3.18) — полная мощность шума.

Поставим задачу об отыскании спектра плотности мощности полезного сигнала s { f ), при котором (при фиксированной полной мощности сигнала Р С = Р и заданной спектральной плотности мощности шума n ( f ) скорость передачи ин формации была бы максимальной. Таким образом, максимум функционала (3.19) При дополнительном условии (3.20) Используя терминологию предыдущего раздела, можно говорить что поставленная задача является изопериметрической со свободными концами, причем подынтегральные выражения в (3.19) и (3.20) не содержат функции s '( f ). Составив в соответствии с методом множителей Лагранжа вспомогательный функционал типа (3.21) выпишем для него уравнение Эйлера откуда (3.22) Подставляя (3.22) в (3.20) и учитывая обозначение (3.18), находим значение Окончательно оптимальная форма спектра плотности мощ ности сигнала определяется из выражения (3.23) Как видно, оптимальный спектр плотности мощности сигнала дополняет спектр плотности мощности шума до константы.

Другими словами, энергию передатчика целесообразно распреде лять в рабочем диапазоне частот неравномерно, направляя ее в основном в те участки, где мощность шума мала. Этот вывод представляет несомненный практический инте рес, однако он, может быть, сделан поспешно, ведь не доказано, что на экстремали (3.23) действительно достигается минимум.

Впрочем, из замечания (3.4) о функционалах, не содержащих производной неизвестной функции (см. § 3.3), немедленно вытекает обоснование того факта, что на функции (3.22) в самом деле реализуется экстремум функционала (3.21), а вместе с ним и функционала (3.19) при условии (3.20). Этот экстремум может быть только максимумом, ибо, при ближая s ( f ) в произвольно малом, но конечном подынтервале интервала ( f 1, f 2 ) к функции n ( f ), взятой с обратным знаком ( s ( f ) n ( f )), можно сделать значение функционала (3.19) меньшим любого наперед заданного числа. В связи с записью приближенного равенства ( s ( f ) - n ( f )), целесообразно напомнить, что по физическому смыслу функции s ( f ) и n ( f ) неотрицательны. Решая поставленную задачу формально, мы нигде не вводили условия s ( f ) 0, поэтому формула (3.23) действительно дает решение поставленной задачи с учетом физических ограничений, если во всех точках интервала ( f 1, f 2) выполняется неравенство (3.24) Однако неравенство (3.24) может оказаться нарушенным: это обстоятельство сигнализирует о том, что математическая задача максимизации пропускной способности канала R [ s ( f )] была поставлена некорректно и, чтобы исправить положение, следует к условию (3.20) присоединить условие S ( f )>0. (3.25) На решениях задач подобного типа мы останавливаться не будем, хотя описанным в [3] методом односторонней вариации успешно решают и такие задачи.

Задача об отыскании импульса с минимальной эффективной шириной спектра Как правило, передача информации по каналам связи осуществляется в строго ограниченном частотном диапазоне: вне этого диапазона так называемые «внеполосные» излучения не должны превышать некоторую заданную существующими нормами величину. При передаче данных занимаемая полоса частот определяется во многом формой сигнала-переносчика, поэтому представляет существенный интерес отыскание формы сигналов конечной продолжительности, обладающих минимально возможной полосой частот [15]. Сказанное, однако, нуждается в некотором разъяснении.

Обозначим интересующий нас сигнал-переносчик длительности Т через y ( t ),0 t T Тогда его спектр (3.26) Преобразование Фурье сигнала конечной продолжитель ности (3.26) определяет спектр Y ( ), который является функцией комплексного переменного = плоскости целыми). Известно, что целые функции могут обращаться в 0 лишь в изолированных точках и никогда на множествах точек, у которых, как говорят математики, «мера больше нуля». Примером таких множеств могут служить отрезок действи тельной или мнимой оси комплексной плоскости, круг или совокупность фигур на этой плоскости, действительная полуось 0 рис.3.11 и т. д.

Практически это означает, что спектры сигналов конечной продолжительности обладают бесконечной протяжен ностью и, следовательно, принципиально неустранимыми внепо лосными излучениями.

Спектр прямоугольного импульса y ( t )=1,0 t T , является в достаточной степени типичным (рис. 3.11). Другими словами, не существует частотного диапазона , внутри которого поместился бы целиком спектр прямоу гольного (да и любого другого) импульса.

Вместе с тем ясно, что внеполосные излучения в зависимости от формы импульса могут обладать большей или меньшей интенсивностью.

Существуют различные способы оценки внеполосных излучений.

Пожалуй, наиболее распространенный из них — энергетический, при котором интенсивность внеполосных излучений характеризуется величиной низкочастотного рабочего диапазона частот критерий ( за пишем в виде (3.27) Задаче минимизации величины посвящена значительная литература [26]. Отметим, что для минимизации отношения (3.27) переходят обычно к иной, эквивалентной, задаче.

Полагая (3.28) решают вопрос о максимизации энергии импульса y ( t ) в ра бочей полосе частот (3.29) Напомним, что в силу теоремы Рэлея Парсеваля спра ведливо следующее равенство для энергии сигнала: 3.30 поэтому условие (3.28) эквивалентно следующему: 3.31 Вариационную задачу максимизации (3.29) при условии (3.31) сводят к решению так называемого интегрального уравнения [22] относительно неизвестной функции y { t ). Изложение достигнутых здесь интересных и важных ре зультатов требует, однако, использования достаточно сложного математического аппарата. В связи с этим используем другой подход к минимизации внеполосных излучений, для чего введем понятие об эффективной ширине спектра, аналогичное дисперсии распределения вероятностей. Попы таемся перенести характеристики законов распределения ве роятностей случайных величин на спектры сигналов. Пред полагая, что выполняется условие (3.28), будем рассматривать неотрицательную функцию как плотность распределения вероятностей p ( случайной величины. Так как модуль спектра произвольного вещественного сигнала является четной функцией частоты (см. § 1.2, свойство 1), т. е. то среднее значение этой случайной величины равно нулю: а ее дисперсия 3.23 Положительную величину назовем эффективной шириной спектра сигнала y ( t ),0 t T , и поставим вопрос о минимизации , или, что эквивалентно, минимизации в качестве дополнительного условия примем равенство (3.28), которое отражает известное свойство интег рала от плотности распределения вероятностей (он равен единице). В дальнейшем, однако, будет удобнее использовать эквивалентное (3.28) равенство (3.31). Здесь уместно напомнить, что дисперсия характеризует степень сосредоточенности плотности p ( Чем меньше дисперсия, тем более «узким» является график функции p ( . В принципе эта функция в пределе при переходит в 5-функцию (для сигналов y ( t ) конечной продол жительности последнее невозможно). Это обстоятельство и обосновывает применение теоретико-вероятностного критерия — дисперсии к оценке ширины полосы частот, занимаемой сигналом y ( t ). Выражение (3.32) преобразуем таким образом, чтобы пред ставить его как функционал от y ( t ). Для этого проведем следующие вспомогательные рассуждения, относящиеся к фор муле обратного преобразования Фурье: (3.33) Продифференцируем обе части равенства (3.33) по t : (3.34) Применим теперь теорему Рэлея—Парсеваля к сигналу y ’( t ),0 t T , . С учетом (3.34) получим (3.35) Сравнив равенства (3.32) и (3.35), запишем Для минимизации функционала (3.36) при ограничении (3.31) составим вспомогательный функционал (3.37) Сделаем упрощающее предположение (оно облегчит, как мы увидим, проверку достаточных условий минимизации): импульс y ( t ) обладает четной симметрией относительно середины отрезка [О, T ] — точки t = T /2. Тогда задачу минимизации функционала (3.37) можно заменить задачей минимизации функционала при условии (3.39) Правый конец отрезка [О, Т/2 ] будем считать свободным, т. е. предполагать, что у{Т/2) может принимать любые зна чения. Что касается левого края интервала — точки t = 0 (равно как и симметричной относительно центра точки t = T ), то здесь определенно можно сказать, что y (0)=0, (3.40) хотя в самой постановке задачи нет никаких указаний отно сительно поведения y ( t ) на концах.

Однако одно важное обстоятельство с необходимостью приводит к условию (3.40). Дело в том, что для сходимости интеграла а значит, и существования конечной величины (см. (3.32)) требуется, чтобы функция при y ( t ), , имеет разрывы, его спектр убывает на бесконечности как на бесконечности как непрерывную первую производную, то характер убывания спектра при т. д. [22]. В нашем случае для сходимости интеграла (3.31) достаточно потребовать, чтобы квадрат модуля спектра как 1/| 4 при 1/| ). Это означает, что импульс должен быть непрерывным. Но из непрерывности функции следует равенство пределов слева и справа в любой точке ее области определения.

Например, на левом краю области определения для непрерывного сигнала y ( t ) справедливо равенство y ( t -0) = y ( t + 0), t = 0. Так как вне отрезка функция y ( t ) считается равной 0, справедливость условия (3.40) очевидна. Что касается свободного конца t = T /2, то в силу теоремы 3.3 о подвижных концах (см. § 3.2) применительно к функционалу (3.38) можем записать соответствующее ограничение , или (3.42) Уравнение Эйлера для функционала (3.38) фактически уже рассматривалось нами в близкой задаче примера 3.1, оно имеет вид y ”+ y =0, а его решение, содержащее две произвольные постоянные,- Воспользовавшись (3.40), запишем . Таким образом, Для определения восполь зуемся условием (3.42) (с учетом того, что с 1 = 0): откуда (3.43) Следовательно, (3.44) где с 2 и целое число k пока не определены.

Отыскание амплитуды с 2 не представляет труда и может быть легко осуществлено с помощью подстановки (3.44) в условие норми ровки энергии импульса y { t ) (3.39). Несколько сложнее найти число k . Чтобы выделить из семейства экстремалей (3.44) кривую, которая действительно соответствует минимуму функционала (3.38), обратимся к до статочным условиям сильного минимума, приведенным в § 3.3. Условие «а» выполнено, ибо все кривые семейства (3.44) — экстремали. Для проверки условия «б» составим дифферен циальное уравнение Якоби (3.16), которое в данном случае принимает вид т. е. совпадает по форме с уравнением Эйлера рассматриваемой задачи. Его общее решение а решение, обращающееся в 0 на левом конце, (3.45) Для выполнения условия ”б” необходимо, чтобы функция не обращалась в ноль ни в одной точке отрезка (0,Т/2), кроме точки t =0. легко проверить, что среди всех значений удовлетворяющих (3,43), только случаи k =0 и k = -1 удовлетворяют этому условию. Более «высокочастотные» ( k= 1, ±2, ±3, ...) синусоиды (3.45) обладают дополнительными нулями на отрезке (0, T /2). Подставив k =0 в (3.44), получим единственную кривую, на которой может быть реализован минимум (3.38), (3.46) — полуволну синуса 1 . Чтобы доказать, что (3.46) действительно является решением нашей задачи, покажем, что выполняется и последний (третий) пункт «в» достаточных условий. Дейст вительно, Определение константы с 2 , как уже говорилось, не вызывает затруднений, она равна . График импульса с минималь ной эффективной шириной спектра показан на рис. 3.12. В заключение разъясним, в чем трудность исследования функционала (3.37), в котором y ( t ) рассматривается на всем отрезке [0, Т ]. Разумеется, уравнения Эйлера и Якоби, а также их решения имели бы тот же самый вид, который описан выше. Но добиться успеха с помощью пункта «б» достаточных условий, которыми мы воспользовались, по-видимому, оказалось бы невозможным.