Основы дискретизации и восстановления сигналов по теореме Котельникова

Интервал между двумя отсчетными точками на оси времени определяется соотношением D t = ½ f m . В этом выражении граничную частоту спектра f m можно найти как f m =1/ t u . Таким образом, получаем D t : D t = ½ f m =0 .075мс Таким образом, мы получаем спектр Котельникова – дискретизованный сигнал, который включает в себя две составляющих.

Континуальный и дискретизованный сигналы изображены на рисунке.2.2. Рисунок 2.2. - Континуальный и дискретизованный сигналы. 3. Работа в компьютерной лаборатории и обработка результатов 3.1. Прямоугольные импульсы Для прямоугольного сигнала устанавливаем длительность импульса t u =0,14мс , число отсчетов N =8 (на периоде) и частоту среза ФНЧ F cp =4 кГц.

Рассмотрим амплитудно-частотную диаграмму (на рисунке 3.1). Спектр дискретизованного сигнала имеет периодический характер, подобно лепесткам в групповом спектре прямоугольного сигнала, только здесь амплитуда этих лепестков не убывает.

Спектр синтезированного сигнала содержит только один лепесток.

Граничная частота в этом спектре определяется частотой среза ФНЧ фильтра, которая в данном случае равна 4 кГц.

Спектральные составляющие, соответствующие этой и последующим частотам, не входят в ряд Котельникова и не участвуют в процессе синтеза сигнала, так как они отбрасываются фильтром.

Следовательно, старшая составляющая дискретного линейчатого спектра соответствует частоте 3 кГц.

Погрешность синтеза сигнала составляет 18,7%. При изменении длительности дискретзирующих импульсов (то есть, когда они отличны от нуля), периодический спектр станет квазипериодическим, так как при этом включается множитель sin ( x )/ x . Рисунок 3.1. - Исследование прямоугольного импульса Далее, увеличим N и F cp в 2 раза, то есть N =16 и F cp =8 кГц. ФНЧ фильтр при этом начинает пропускать больше высокочастотных составляющих в ряд Котель-никова, поэтому колебания в восстанавливаемом сигнале становятся чаще. В частотном спектре восстанавливаемого сигнала появится еще один лепесток (толстые линии на спектре, рисунок 3.1), в который входят новые высокочастотные составляющие. Этот лепесток и совершает 'вырез' сигнала в пике (см. рисунок 3.1). При этом абсолютная разность сигналов D S =| S ( t )- S S ( t )| уменьшается, что приводит к снижению погрешности.

Погрешность синтеза в этом случае составляет 16,6%. 3.2. Импульсы треугольной формы Рисунок 3.2. - Исследование треугольных импульсов Выставляем в программе заданные параметры: t u =0,31 мс, N 1 =32, F cp = N /2 = 16 кГц. По аналогии с предыдущим пунктом, спектр дискретизованного сигнала имеет периодический характер.

Увеличим число отсчетов N =40 и F cp = N /2 = 20 кГц.

Благодаря разнесению парциальных спектров увеличится граничная частота f m , лучше станет просматриваться форма спектра исходного треугольного импульса и улучшится качество синтеза.

Результат исследования импульсов треугольной формы показан на рисунке 3.2. Иными словами, при увеличении числа отсчетов N 1 -> N 2 , сигнал лучше восстанавливается, уменьшается погрешность восстановления: и при 3.3. Пилообразные импульсы Выставим максимально возможную длительность импульса t u = 1 мс.

Наблюдения проводились при N =8, F cp =4 кГц и при N =32, F cp =16 кГц. Как и в предыдущих колебаниях, в пилообразном импульсе наблюдается периодический характер спектра (см. рис.3.3). Кроме того, в этом типе сигнала наблюдается выброс - дефект Гиббса.

Аналогично гармоническому синтезу, этот выброс появляется в точках разрыва исходного сигнала.

Непрерывные функции (в нашем случае sin ( x )/ x ) не могут восстановить подобный сигнал с большой точностью. Рисунок 3.3. - Исследование пилообразных импульсов Найдем аналитическое выражение для спектра напряжения пилообразной формы.

Исходный сигнал выглядит как S ( t )= E ( t / t u ). Требуется найти S ( n D t ), то есть для t = n D t : t u = N D t , а n - номер отсчета. На основе сравнений с экспериментальными и теоретическими значениями S ( t ), можно сделать вывод о справедливости этой формулы. 3.4. Синусоидальное колебание Установим частоту среза F cp = F cp min =1 кГц и минимальное число отсчетов на период N = N min =2. При этом интервал между отсчетными точками находится из соотношения ½ f m = D t , где частоте f m соответствует частота среза F cp ФНЧ фильтра.

Отсюда получаем D t =0,5 мс.

Отсчеты приходятся на моменты времени t =0 и t =Т/2=0,5. В этих точках сигнал S ( t )= sin ( x ) равен нулю, поэтому ни дискретизации, ни восстановления сигнала не произойдет. При изменении фазы от p /6 до p /2, мы получим сигнал S ( t )= cos ( x ). В точках t =0 и t =0,5 мс эта функция равна 1 (отлична от нуля), поэтому происходит восстановление cos ( x ). Рисунок 3.4. - Синусоидальное колебание Далее, по заданию, мы выставляем нечетное и избыточное число отсчетов N =25. В спектре дискретизованного сигнала появляется 'спектральный шум' дискретизации.

Установив частоту F cp =12 кГц= N /2, изменяем ее в пределах от 10 до 14 кГц, добиваясь тем самым захвата восстанавливающим фильтром группы из 4-5 шумовых составляющих малой величины.

Характер спектра при этом полностью отражается формой восстанавливаемого сигнала. В его основе – синусоида, 'обрамленная' высокочастотными флуктуациями – колебаниями малой амплитуды. Эти флуктуации вносятся спектральным шумом (высокочастотными составляющими спектра с незначительной амплитудой), и их влияние на увеличение погрешности минимально.

Основной синусоиде соответствует низкочастотная гармоника, и при ее исключении из синтеза мы как раз получим наш шум – высокочастотные колебания с незначительной амплитудой.

Увеличив частоту среза до 36 кГц, мы включим в синтез не только низкочастотную гармонику, но и первую пару полезных высокочастотных составляющих дискретизованного сигнала (см. рис.3.4). Восстановленный сигнал представляет собой асимметричные биения , благодаря наличию НЧсоставляющей, которая модулирует ВЧсоставляющие. 3.5. Амплитудно-модулированное колебание Рисунок 3.5 - Амплитудно-модулированное колебание Число отсчетов равно N =25, частота дискретизации f д =1/Т д = N =25 кГц. Эта и кратные ей частоты будут являться центральными частотами парциальных спектров.